Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 1.1.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 1 + 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Étape 1.2

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 1.2.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 1.3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 1.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading $1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions: $a_{11}, a_{22},$ and $a_{33}$

Pivot Columns: $1, 2,$ and $3$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

$3$