Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & - 1 - 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + R_{1}

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.1.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + R_{1}

$R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & - 1 - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 1 + 1 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 1 + 1 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & - 1 0 & 0 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & - 1 0 & 0 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Étape 1.2

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

3, 3

$3, 3$ a

1

$1$ .

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Étape 1.2.1

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

3, 3

$3, 3$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & - 1 \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & - 1 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & - 1 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + R_{3}

$R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at

2, 3

$2, 3$ a

0

$0$ .

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Étape 1.3.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + R_{3}

$R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at

2, 3

$2, 3$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.4

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - R_{3}

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at

1, 3

$1, 3$ a

0

$0$ .

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Étape 1.4.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - R_{3}

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at

1, 3

$1, 3$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

1

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

a_{11}, a_{22},

$a_{11}, a_{22},$ and

a_{33}

$a_{33}$

Pivot Columns:

1, 2,

$1, 2,$ and

3

$3$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

3

$3$